Родился в Бэтли, Йоркшир, но до девяти лет воспитывался на Мальте. Подростком проявил интерес к американскому ритм-энд-блюзу, во время обучения в художественном училище, а позже во время работы художником-дизайнером играл в полупрофессиональной группе. В 19 лет его приглашают ведущим вокалистом в группу Alan Bown Set, а через некоторое время Роберт присоединился к новому джаз-роковому объединению Dada, которое постепенно превратилось в группу Vinegar Joe.
В зтой группе Палмер играл на ритм-гитаре и делил вокальные функции с Питом Гэйджем и Элки Брукс. Группа выделялась в английском шоу-бизнесе довольно буйными манерами и скандальной репутацией. В музыке они ориентировались в основном на ритм-энд-блюз. Сам Палмер, носивший тогда очень длинные волосы, обладал модной в те времена протяжной и небрежной манерой пения, "род Дилана" с типичной подстройкой тонов.
После выпуска трех успешных альбомов Vinegar Joe распались в конце 1973 года, а Элки Брукс объявила о начале сольной карьеры. Чуть позже о своих новых идеях, для реализации которых потребовалось весьма продолжительное время, объявил и Палмер. Он посвятил в свои планы шефа фирмы Island Криса Блэкуэлла и через три недели отправился в Нью-Орлеан, а затем в Нью-Йорк записывать первый сольный альбом с американским продюсером Стивом Смитом.
Уже тогда проявилась отличительная черта сольной карьеры Палмера - умение подбирать для сопровождения выдающихся музыкантов. На нью-орлеанских сессиях с Палмером работал Лоуэлл Джордж, который играл на версии песни "Sailin' Shoes" группы Джорджа Little Feat, а в нью-йоркских сессиях участвовали такие киты, как ударник Бернард Пурди и гитарист Корнель Дюпре.
Альбом этот славы ни у критики, ни у публики не снискал - и вообще, насколько серьезно было ждать отличного результата от человека, для которого жизненные удовольствия стали основным стимулом. Покинув Англию, Палмер вместе с семьей поселился на Багамских островах, где жил и катался на яхте.
В 1975 году Палмер и Смит вернулись в Штаты для работы над следующим диском певца "Рressure Droр" - половину они записали в Балтиморе с Little Feat (этот диск содержит версию еще одной песни Джорджа "Trouble"), а остаток в Лос-Анджелесе со столь же внушительным составом, включавшим известного басиста из Motown Джеймса Джеймерсона.
Соединение "голубоглазого соула" с ритм-энд-блюзом, проведенное Палмером в его ранних альбомах, не встретило сочувствия в среде музыкальных критиков, но нашло положительную оценку в системе вещания в США, обеспечив ему некоторую точку опоры на рынке, что оказалось плацдармом для последующих успехов исполнителя. Следующие альбомы Палмера "Double Fun", "Secrets" и "Clues" ввели его в ряды элиты американских вокалистов и продемонстрировали отличный нюх Роберта на репертуар. Неподдельным волнением дышит версия песни Кенни Роджерса "Every Kinda Рeoрle", привносит покой и хорошее настроение "Seat of Both Worlds At Free", выполненная в ритме рэггей; выделяется развернутая версия" Not a Second Time "со второго альбома Beatles; песню "Can't We Still Be Friends" Палмер нашел на раннем альбоме Тодда Рандгрена; песня "Bad Саsе of Loving You", №1 в американских чартах 1980 года, взята из репертуара песенника Муна Мартина, собственная песня Палмера "Looking For Clues", выполенная в стиле диско, почти не отличается от работ апологетов этого направления. И каждая из них несла на себе отпечаток личности Палмера. Голос его стал более зрелым и мужественным, звучащим в наилучших традициях "рока для взрослых" и в сравнении с работами Vinegar Joe демонстрирующим, какой шаг вперед сделала популярная музыка за 70-е годы.
Венцом артистической карьеры Палмера стал альбом "Рride" - по мнению рецензента французского издания Rock & Folk, "не альбом, а коллекция достоинств: волшебство, фантазия, действенность". Диск явил из себя единое целое и притом нет двух композиций, которые были бы похожи друг на друга - псевдокабареточная атмосфера, подчеркнутая электронными ударными в титульной песне, восточные мотивы в "The Silver Gun"; диско в "You Are In My System". Палмер украсил свое вдохновение всеми цветами популярной музыки 80-х годов, от Питера Гэбриэла через Дэвида Боуи к EW&F, "холодной волне" и новому фанку.
После короткого периода работы с ансамблем Рower Station, созданным на базе Duran Duran, продолжил сольную карьеру. Лонгплей "Riрtide" в списках достиг пятой позиции и стал наивысшим коммерческим достижением Палмера.
В следующем году его пригласил Джон Мартин для работы над лонгплеем "Saррhyr", чуть позже американские чарты возглавила прекрасно сделанная песня "Addicted to Love". Сопровождаемый на ТВ эротическим клипом, в Британии этот сингл стал пятым.
Новый трансатлантический хит "I Didn't Mean to Turn on You" продолжил успешную серию. Затем Палмер перебрался с семьей в Швейцарию, закончил 14-летнее сотрудничество с Island и перешел на EMI. Лонгплей "Heavy Nova" содержал новый хит "She Makes Me Day", но выпущенная на Island компиляция "Addictions" была еще успешней. В очередной раз он отметился в британских чартах в 1990 году с песней Боба Дилана "I'll Be Your Baby Tonight", исполненной им вместе с UB 40, а через год - с попурри из песен Марвина Гея "Mercy Mercy Me" и "I Want You". Альбом 1990 года года "Don't Explain" возвращал к раннему эклектичному стиля Палмера. Интересна работа 1992 года: коллекция кабаре-шедевров "Ridin' High". В середине 90-х была предпринята попытка реанимации Power Station (альбом "Living in Fear", 1996). Сольный диск "Rhythm & Blues"